GIOCHI LOGICI E MATEMATICI

Qui ci saranno alcuni giochi logici/matematici che nel tempo ho trovato interessanti, piacevoli, stimolanti! In una parola "challenging".

Partiamo da uno dei più belli in assoluto. Se non lo sapete risolvere non preoccupatevi. Ce ne sono degli altri più semplici e poi - tornando indietro - lo risolverete!

Il Problema Impossibile!

Oh no! Siete ancora in tempo a tornare indietro!

Ho ripreso questo problema dal sito BASE cinque che è un pozzo di bei quesiti. Vi è anche la soluzione a questo problema apparentemente impossibile al http://utenti.quipo.it/base5/numeri/probimpos.htm

Se però volete affrontare a tutti i costi il problema di questa pagina, devo almeno avvertirvi, come dice il prof. Gianfranco BO gestore del sito BASE CINQUE che:

  • ho trovato il problema n.1 innocentemente nascosto in mezzo a tanti altri problemi "normali" nel rec.puzzle.archive, ma questo non è un problema "normale";
  • questo è un problema infernale che potrebbe perseguitarti anche per varie settimane, fino a quando non avrai trovato la soluzione;
  • questo problema potrebbe sottrarre per alcuni giorni i tuoi cari al tuo affetto e anche alla più vaga possibilità di comunicare con te;
  • questo problema resiste incredibilmente alle semplificazioni, deve essere affrontato così com'è, in tutta la sua complessità;
  • questo problema è stato definito "un problema impossibile";
  • ma ciò che è più strano, è che questo problema può essere risolto interamente con un programma per computer che anche i programmatori in QBASIC eternamente alle prime armi come me, saprebbero costruire;
  • e che tale programma, dopo aver fatto impallidire leggermente un pentium, stamperà bellamente sul display i due numeri che risolvono il problema e, volendo, anche tutti i calcoli necessari per arrivare a questi due numeri;
  • dirò di più: il programma che trova le soluzioni del problema, scritto in BASIC o in un qualunque altro linguaggio di programmazione, costituisce la migliore, la più chiara, la più costruttiva spiegazione della risoluzione del problema stesso.

Per affrontare il Problema Impossibile senza correre il rischio di cadere in una confusione mentale senza ritorno, è necessaria un'adeguata preparazione. Questa può essere raggiunta risolvendo altri problemi dal n. 2 al n. 6. che si trovano sul sito sopra indicato

Ed ora... in bocca al lupo!

1. Il Problema Impossibile
Il professor Somma ed il professor Prodotto sono due logici perfetti, capaci di dedurre quasi istantaneamente tutte le verità da qualunque sistema di assiomi.
Un giorno uno studente - del Politecnico di Milano - incontra i due professori al bar dell'università e  chiede loro: "Mi permettete una domanda?"
"Certo!"
"Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100 e questa è la loro somma."
Lo studente dà un foglio al prof. Somma. L'altro professore non vede cosa c'è scritto.
Lo studente aggiunge: "E questo è il loro prodotto."
Dà un altro foglio al professor Prodotto. Il prof. Somma, naturalmente, non vede cosa c'è scritto.
"Sapete dirmi quali numeri ho pensato?"

  • Prof. Prodotto: "Non sono in grado di determinarli."
  • Prof. Somma: "Io lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli."
  • Prof. Prodotto: "Beh, se dici così allora io so che numeri sono!"
  • Prof. Somma: "Ora lo so anch'io!"

E dicono in coro i due numeri che ha pensato lo studente.
Lo studente indietreggia con gli occhi spalancati e fugge dal bar.

Probabilmente abbandona per sempre il Politecnico e si dà all'ippica...  aggiungo io!

Quali sono i due numeri?



Risposte & riflessioni

La risposta la trovate al link indicato all'inizio del problema.

  • Prima di proseguire vorrei fare un paio di considerazioni. I quiz logici/matematici lasciano il tempo che trovano, ma attenzione! Se vi piacciano essi devono rispondere ad alcuni prerequisiti ovvero ad alcune caratteristiche ben precise:
  • Il testo del problema deve essere presentato come una storiella, meglio se accattivante
  • I dati del problema devono apparire tra le righe e non tutti in chiaro, ma magari presentati come condizioni al contorno
  • Alla fine della storiella la domanda al quesito deve essere "astonishing", cioè lasciare perplesso il lettore, perché di primo acchito deve pensare che il problema è irrisolvibile e che i dati siano insufficienti.
  • Di fatto possiamo chiamare TENSIONE di un problema le caratteristiche sopra indicate. Più è alta la tensione di un problema tanto più sarà interessante e stimolante trovarne la soluzione!
  • Basta rileggere il problema appena sottoposto per vedere che tutti questi criteri sono presenti!
  • Nel caso non abbiate ancora risolto il problema impossibile, vi presento il quiz degli occhi AZZURRI. Anch'esso è fascinoso nella sua formulazione e la sua soluzione non richiede nessun computer ma solo un po' di intuizione: Eccolo:
  • Un classico: l'età dei figli
    Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede:
    "Quanti figli ha?"
    "Ho tre figli" gli risponde la donna."
    "Età?"
    "Il prodotto delle loro età è 36 e la somma è uguale al numero civico della casa di fronte."
    "Buon giorno e grazie."
    L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice:
    "I dati che mi ha fornito non sono sufficienti."
    La signora ci pensa un po' e replica:
    "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
    "Ah, - dice l'intervistatore - ora so che età hanno!
    Quanti anni hanno?

  • Pensateci bene e non leggete subito la soluzione, oppure guardatela, ma poi seguite il ragionamento che fece l'intervistatore.

  • ECCO LA SOLUZIONE RAGIONATA:

    1. Un classico: l'età dei figli
    i tre figli hanno rispettivamente 2, 2, 9 anni.
    Vediamo di capire perché.
    Noi non conosciamo il numero civico della casa di fronte, quindi dobbiamo trovare ed esaminare tutti i casi possibili.
    Visto che il prodotto è 36, le età potrebbero essere:

    Possibili terne di età prodotto somma
    1 1 36 36 38
    1 2 18 36 21
    1 3 12 36 16
    1 4 9 36 14
    1 6 6 36 13
    2 2 9 36 13
    3 3 4 36 10
    6 3 2 36 11

    Se, ad esempio, il numero civico della casa fosse 14, non ci sarebbero problemi. L'unica terna di numeri interi che da come prodotto 36 e come somma 14 è 1, 4, 9.
    Come si vede dalla tabella, l'unica somma che dà origine ad ambiguità è 13, alla quale corrispondono due diverse terne, ciascuna delle quali prevede che due dei figli o figlie siano gemelli.
    Ma la mamma ha precisato: "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
    Da ciò si capisce che la maggiore non ha una gemella, ma è unica.
    Quindi possiamo dedurre che i tre figli hanno 2, 2 e 9 anni.

  • BELLO? VI E' PIACIUTO?
  • Allora porponete agli amici questo apparentemente facile QUIZ sulle MICCE:

  • Siamo su un'isola deserta e disponiamo solo di due micce e di un accendino.
    Le due micce durano 60 minuti ciascuna ma non bruciano a velocità costante e non sono uguali tra loro. Come facciamo a calcolare un tempo della durata di 45 minuti? 
ECCO LA SOLUZIONE, ma provate prima risolvere il QUIZ voi stessi prima di proporlo agli amici:


Lasciamo la miccia A distesa e posizioniamo la miccia B in modo da far coincidere le sue estremità e diamo fuoco ad entrambe le micce.
Quando la miccia B si è completamente esaurita, sono passati esattamente 30 minuti e quindi la parte restante della miccia A ha durata pari a 30 minuti.
A questo punto basta accendere anche l'altra estremità della miccia A che pertanto resterà accesa per 15 minuti. Il totale dei due tempi fa pertanto 45 minuti.

BENE, UN ATTIMO DI PAUSA e se questi giochi logici/matematici vi piacciono allora ogni tanto tornate in questa pagina dove inseriremo link ad altri giochi e vi suggeriremo anche libri sull'argomento e magari vi sottoporremo ad altre sfide!


  • A proposito di sfide, nel 2017 la Hachette pubblicò una collana a fascicoli per un totale di 60 libri, uno più bello dell'altro. La collana era intitolata SFIDE E GIOCHI MATEMATICI . Li potete ancora comprare in qualche libreria ovvero su eBay. Ecco l'elenco completo:

Abbiamo trovato i titoli dei due libri mancanti:

59: I GIOCHI MATEMATICI DI FRA LUCA PACIOLI di Dario Bressanini e Silvia Toniato

60: DARE LA CACCIA AI NUMERI di Daniele Gauthier e Massimiliano Foschi.

ORA UN ALTRO CLASSICO: 

I mariti infedeli

La vicenda si svolge in uno sperduto villaggio sessista di una campagna non meglio identificata. In questo villaggio vivono numerose coppie sposate, per cui ogni donna viene a sapere immediatamente se il marito di un'altra donna l'ha tradita; tranne quando la vittima del tradimento è lei. Le regole ultra femministe di questa ipotetica comunità stabiliscono che se una donna è in grado di provare l'infedeltà del marito, deve ucciderlo alla mezzanotte del giorno in cui ne ha la certezza. Si dà il caso che venti mariti si siano abbandonati ai piaceri dell'amore extraconiugale; ma poiché nessuna delle tradite è in grado di provare il tradimento perpetrato dal proprio consorte, la vita del villaggio procede nel segno dell'allegria e dell'omertà. Poi, una mattina del giorno 1, la Madre va a trovare le sue adepte dall'altra parte della foresta. La sua sincerità è universalmente riconosciuta e le sue parole vengono prese per oro colato. Avverte gli abitanti del villaggio che tra di loro c'è almeno un fedifrago. Cosa succede?

SOLUZIONE:

La risposta è che al monito della Madre faranno seguito 19 giorni tranquilli e poi, alla mezzanotte del ventesimo, una strage: venti donne inferocite uccideranno i rispettivi mariti. Per capire la dinamica di questa tragedia, supponete che vi sia un solo marito infedele, il signor A. Tutte le donne del villaggio sanno già delle sue imprese extraconiugali tranne, ovviamente, la signora A; così quando la Madre fa il suo drammatico annuncio, la notizia è una novità solo per lei. Essendo per ipotesi una persona intelligente, la signora A si rende conto che se qualche altro marito si desse all'adulterio lei lo saprebbe. Conclude pertanto che il traditore è il signor A e lo spedisce all'altro mondo allo scoccare della mezzanotte.

Supponete ora che i fedifraghi siano due, il signor A e il signor B. Tutte le donne sono al corrente delle loro scappatelle, tranne naturalmente le signore A e B: la signora A sa di B e la signora B sa di A. Dunque Mrs. A non viene a sapere nulla di nuovo dall'annuncio della Madre, ma quando Mrs. B omette di uccidere il marito in quello stesso giorno, ne desume che ci deve essere un secondo marito infedele, che può essere solo Mr. A. La stessa situazione si ripete per Mrs. B, che desume l'infedeltà del proprio coniuge dal fatto che Mrs. A non ha soppresso il marito alla mezzanotte del giorno stesso. Il giorno dopo (secondo giorno) le due signore fanno fuori i rispettivi consorti. 

Ecco ora un altro problemino simpatico e tranquillo:

Andata e ritorno

Cornucanio ed Eraclanio, amici e soci in affari, decidono di trascorrere un paio di giorni insieme per rilassarsi e per prendere qualche decisione strategica riguardo alla loro attività. Il venerdì mattina alle 8:00 in punto, Cornucanio prende la sua auto e, con un'andatura tranquilla, percorre i 200 chilometri di strada che lo separano da casa di Eraclanio, si gode il panorama di campagna e arriva a destinazione alle 15:00.
Trascorso insieme il fine settimana, il lunedì mattina Cornucanio parte alle 8:00 in punto da casa di Eraclanio e ripercorre in senso inverso la stessa identica strada del venerdì, ma questa volta, dovendo riprendere il lavoro, la velocità è decisamente più sostenuta, e alle 10:00 in punto è già di rientro.
Lungo il viaggio di ritorno, esiste un punto in cui passa alla stessa ora di quando andava a casa dell'amico?
(Spiega il motivo della tua risposta).

SOLUZIONE:
Leggendo questo problema, viene spontaneo rispondere che, avendo percorso la strada di andata e quella di ritorno a velocità diverse, non può esistere un punto in cui Cornucanio si trovi esattamente alla medesima ora nello stesso posto. Per risolvero proviamo a ragionare in un modo alternativo e cioè, invece di essere la stessa persona che percorre il tragitto in due giorni diversi, pensiamo che nello stesso giorno i due amici partano ognuno da casa propria alle 8:00 in punto e percorrono la stessa strada andando ognuno verso casa dell'altro.
Ebbene, indipendentemente dalla velocità scelta, ci sarà un punto in cui le due auto si troveranno nello stesso posto alla stessa ora. Per cui la risposta al nostro problema è SI', esiste un punto in cui Cornucanio, durante il viaggio di ritorno, si troverà alla stessa ora e nello stesso posto del viaggio di andata.

Altro problemino dalla stessa fonte:

Giovane romano

Augusto Claudio Proculo nasce nella Roma antica l'ultimo giorno del 12 a.C.
Il giorno del suo sedicesimo compleanno festeggia con gli amici facendo un tuffo nel Tevere, ma si ferisce con un sasso.
2 giorni dopo, a causa della grave ferita, muore.
In quale anno è morto?

PENSATECI...

SOLUZIONE:

Era il 6 d.C.
Dobbiamo tenere presente che nel nostro calcolo degli anni non esiste l'anno zero, per cui si passa direttamente dal 1 a.C. al 1 d.C.
Quindi il 31 dicembre dell'1 a.C. aveva 11 anni, il 31 dicembre dell'1 d.C. aveva 12 anni... il 31 dicembre del 5 d.C. festeggia il suo sedicesimo compleanno e 2 giorni dopo siamo al 2 gennaio nel 6 d.C. quando muore.


Un altro problemino, questa volta sulle CALZE:

Calze della befana

La Befana ha portato 8 piccoli pacchetti regalo per 8 fratelli. I pacchetti sono tutti assolutamente identici alla vista ma Gianprimo sostiene che uno di questi pacchetti è più pesante e spetta a lui in quanto primogenito.
Giansecondo prova a sollevare i pacchetti uno per volta ma non trova differenze sensibili. Gianterzo e Gianquarto fanno lo stesso e concordano con Giansecondo.
Sono tutti ansiosi di vedere i regali della Befana ma sono bloccati in questa situazione.
Giannottavo, il più piccolo, propone una soluzione: prendere la bilancia a 2 piatti del nonno Gianni e pesare tutti i pacchetti, ma il più pesante potrà aggiudicarselo solo chi riuscirà a individuarlo con il minor numero di pesate.
Qual è quindi il minor numero di pesate da effetturare? E come fare per individuare il regalo più pesante?


SOLUZIONE:
Il numero minimo di pesate è 2.
Ecco come fare.
I pacchetti sono 8 e li divido in 3 gruppi: due gruppi da 3 pacchetti e un gruppo da 2 pacchetti.
(Prima pesata) Peso la prima terna con la seconda terna: se la bilancia è in equilibrio vuol dire che il pacchetto più pesante è nella coppia non pesata e quindi ponendo uno per piatto i due pacchetti della coppia posso determinare il più pesante (con la seconda pesata).
Se invece alla prima pesata uno dei due piatti pende, significa che il pacchetto che sto cercando è in quella terna. Per individuare quale dei tre pacchetti pesa di più ne pongo due a caso sui piatti (seconda pesata) e uno lo tengo da parte. Se la bilancia è in equilibrio allora il più pesante è quello tenuto da parte, altrimenti la bilancia mi indicherà esattamente il pacchetto più pesante.

Vuoi cambiare nome? Fai come Agilulfo:

Tutti in coda

Agilulfo si sente spesso a disagio per via del suo nome, troppo desueto, così decide di andare in comune per cambiarlo in Adaloaldo.
Alle 11:20 di venerdì mattina entra negli uffici dell'anagrafe e trova una lunga coda, prende il suo numero, il 75, e si siede in attesa di essere chiamato.
Teodolinda, la donna delle pulizie del comune, gli si avvicina e gli dice:
"Non so se ti conviene aspettare, questa mattina, quando abbiamo aperto alle 8:00, c'erano già 12 persone in coda e ne sono arrivate di continuo, ma lo sportello chiude inderogabilmente alle 13:00."
A questo punto Adaloaldo (in verità si chiama ancora Agilulfo ma nella sua mente pensa di aver già cambiato nome) si guarda intorno e vede che è preceduto da 24 persone. Sapendo che ogni persona impiega esattamente lo stesso tempo allo sportello, decide di rimanere seduto ed aspettare il proprio turno. Secondo voi fa bene ad aspettare o dovrebbe andare via?


SOLUZIONE:
Agilulfo fa bene ad aspettare perché sarà proprio lui l'ultimo ad essere ricevuto.
Nelle 3 ore e 20 minuti (= 200 minuti) trascorsi dopo l'apertura, sono state ricevute 50 persone. Sappiamo che tutte impiegano lo stesso tempo, quindi (200/50) ognuna impiega esattamente 4 minuti. Nei restanti 100 minuti che mancano alla chiusura delle ore 13:00 dovranno essere ricevute esattamente altre (100/4) 25 persone, e Agilulfo è proprio il venticinquesimo della fila.



ORA IL QUIZ SU ATTRAVERSAMENTO DI UN PONTE:

Ponte tibetano

Quattro amici, Antongiulio, Antonpietro, Angongianni e Antonluca, si sono attardati in montagna dopo una lunga giornata di camminate molto impegnative. Per rientrare in paese devono percorrere un piccolo sentiero e poi devono attraversare un ponte tibetano che può reggere al massimo due persone per volta. Ormai è buio e per muoversi sul ponte tibetano è indispensabile l'ausilio di una torcia elettrica che ne illumini i passi senza rischiare di cadere di sotto, ma loro hanno una sola torcia e la carica della batteria indica che hanno solo 17 minuti di luce a disposizione.
Sappiamo anche che Antongiulio ci impiega un minuto per attraversare il ponte; Antonpietro ha una spina nel piede, per cui ha bisogno di 2 minuti per attraversare il ponte; Angongianni si è storto una caviglia inciampando su un sasso e con questo dolore impiega 5 minuti per attraversare il ponte; infine ad Antonluca si è infiammato il nervo sciatico e, zoppicando vistosamente, impiega 10 minuti per attraversare il ponte.
E' chiaro che quando due amici attraverseranno il ponte insieme (con la torcia elettrica per fare luce), procederanno alla velocità del più lento dei due, quindi come possono fare per trovarsi tutti dall'altro lato del ponte entro 17 minuti?



SOLUZIONE:
Antongiulio e Antonpietro attraversano il ponte e Antonpietro torna indietro per riportare la torcia elettrica (2 minuti all'andata e 2 minuti al ritorno, totale 4 minuti).
Antongianni e Antonluca attraversano il ponte e Antongiulio torna indietro con la torcia elettrica (10 minuti all'andata e 1 minuti al ritorno, fanno 11 minuti).
Antongiulio e Antonpietro attraversano il ponte (2 minuti di sola andata).
Il totale sarà esattamente 17 minuti.

ORA AIUTATEMI AD EVADERE:

Evasione

Sono prigioniero in una stanza con una sola finestra la cui grata metallica è larga a sufficienza da permettermi di attraversarla ma la finestra è a 40 metri dal suolo.
Sul soffitto della mia cella, alto 20 metri, ci sono due anelli da cui pendono 2 corde che sono lunghe fino a terra, quindi esattamente 20 metri ciascuna, e sono distanziate fra loro di circa 30 centimetri. Dispongo anche di un coltello con cui potrei tagliare le corde. Il problema è che se mi arrampico fino in cima per tagliare le corde alla loro massima lunghezza, cadrei io stesso da un'altezza di 20 metri.
La lunga prigionia ha indebolito le mie ossa per cui posso saltare al massimo qualche decina di centimetri senza farmi male. Al contrario, i muscoli delle mie braccia mi permettono ancora di arrampicarmi sulle corde fino in cima.
Ho bisogno di queste corde per l'intera lunghezza per poter fuggire ma come posso recuperarle senza cadere dall'alto?


SOLUZIONE:
Lego le due corde fra loro alla base, salgo su una di queste fino in cima e taglio la corda dall'altro anello. Ora ho a disposizione un'unica corda di 40 metri legata a un solo anello. Prendo il capo libero, mi arrampico nuovamente in cima e lo faccio passare attraverso l'altro anello fino a fargli toccare di nuovo terra. A questo punto, afferrando entrambe le corde che scendono dall'altro anello, posso tagliare il nodo della corda ancora legata in cima su cui mi ero arrampicato.
Ora posso calarmi fino a terra grazie alla corda doppia che ho ottenuto senza dover fare salti dall'alto.
Quando sarò a terra mi basterà tirare la corda da un solo capo per sfilarla dall'anello, avendo così una corda di 40 metri, sufficiente per fuggire dalla finestra!

Ora un quiz sui lucchetti in un paese di ladri:


In un paese tutti gli abitanti sono ladri.

Se cammini per strada con degli oggetti vengono rubati, se spedisci qualcosa per evitare che venga rubata dai postini, ricordati di averla messa dentro una cassaforte chiusa da un lucchetto.
Infatti le uniche cose che non vengono rubate nel paese sono quelle contenute dentro una cassaforte chiusa da un lucchetto. Alla nascita ogni abitante riceve una cassaforte e un lucchetto di cui solo lui possiede l'unica copia della chiave.
Ogni cassaforte può essere chiusa da più lucchetti ma le chiavi non sono cedibili duplicabili e portabili per strada perché verrebbero rubate.
Ah dimenticavo un ultimo particolare anche le casseforti e i lucchetti aperti posso essere rubati...

Come fa un abitante del paese a spedire un regalo ad un amico senza che questa venga rubato dai postini?


SOLUZIONE:

L'amico spedisce la propria cassaforte chiusa dal proprio lucchetto a casa dell'abitante a cui deve fare il regalo. Questo mette un suo lucchetto alla cassaforte e la rispedisce a casa dell'amico. Questo toglie il proprio lucchetto e rispedisce la cassaforte. A questo punto l'abitante del paese può aprire la cassaforte ricevuta poichè vi è rimasto il proprio lucchetto e vi mette dentro il regalo, dopodichè richiude con il proprio lucchetto e rispedisce la cassaforte. L'amico mette il proprio lucchetto alla cassaforte ricevuta e la rispedisce. A questo punto l'abitante toglie il proprio lucchetto e rispedice la cassaforte. L'amico riceve così la cassaforte chiusa dal proprio lucchetto, potendola aprire e scartare il regalo ricevuto. Le poste ringraziano... :)


STOP PER ORA!!!

Proseguiamo ora parlando dell'antico gioco del TESTA O CROCE. Semplice ed elementare. Ma se lo doveste giocare per telefono quale accortezze metterete in atto per evitare che l'avversario vinca imbrogliandovi? Sistemi ce ne sono tanti, ma trovatene uno che abbia delle solide basi. Se poi non vi viene in mente nulla di "solido" andate a leggere questo link:

http://utenti.quipo.it/base5/logica/testacroce.htm 

  Chiudiamo questa prima parte con 33 problemi di matematica ricreativa che potrete leggere al link:

http://utenti.quipo.it/base5/libretti/33problemi.pdf Ringraziamo il prof. Gianfranco Bo di Base cinque per le parti che abbiamo preso dal suo sito e gli rinnoviamo i nostri complimenti.

AHHH dimeticavamo di segnalarvi il mensile gratuito di Rudi Mathematici. Andate al link: http://www.rudimathematici.com/

Segnalateci PARTICOLARI PROBLEMI ad alta tensione scrivendo a fabiov@tiscai.it

Ci segnalano questo sito con 210 giochi logici/matematici. Non li abbiamo esaminati, ci auguriamo che siano di vostro interesse:

http://www.sandrodiremigio.com/giochi/giochi_matematici_enigmi_paradossi_logica_numeri_100.htm

Dal sito BASE Cinque riprendiamo i 34 quesiti più conosciuti l mondo con le loro soluzioni. Buon divertimento!

Cominciamo dai fondamentali

I quesiti più conosciuti nel mondo
(al momento siamo a quota 34)

Nota Iniziale: alcuni di questi 34 nuovi quesiti logico/matematici  sono già stati presentati in questa sezione. Poco male... li potete ripassare... e risorverli adesso nel caso non lo abbiate già fatto!

Anche se a scuola non vi hanno mai fatto giocare con la Matematica ricreativa (e forse non vi hanno neppure detto che esiste) dovreste senz'altro conoscere almeno tre o quattro dei quesiti seguenti.
Si tratta di una piccola collezione dei classici più conosciuti al mondo.
Provate a risolverli per mettere alla prova la vostra abilità di base ma non poneteli mai a nessuno per dimostrargli che siete esperti: probabilmente il vostro interlocutore vi dirà:
- Questo lo conosco benissimo!

N.B. I problemi di questa sezione provengono dalle fonti più disparate: libri, e-mail, newsgroups, pagine web, confidenze di amici, etc.
Molti di questi problemi si trovano anche in altre sezioni di Base Cinque.


1. Il figliol prodigo
Un giovanotto ha ricevuto 1024 Euro in regalo. Ogni giorno spende metà di quello che possiede.
Dopo quanti giorni rimarrà senza neanche un Euro?

2. L'Euro mancante
Tre amici vanno a cena in un ristorante. Mangiano le stesse portate e il conto è, in tutto, 25 Euro. Ciascuno di essi paga con un biglietto da 10 Euro, per un totale di 30 Euro. Quando il cameriere gli porta il resto di 5 Euro, si tengono 1 Euro a testa e gli lasciano 2 Euro di mancia.
Più tardi fanno i conti e dicono: "Abbiamo pagato 9 Euro a testa cioè 9 x 3 = 27 Euro i quali, con i 2 Euro di mancia, fanno 29 Euro. Dov'è finito l'Euro mancante?"

3. Tutti hanno pagato ma alla fine la cassa è vuota
Tre signori molto onesti ed educati cenano in una locanda. Il primo di loro, quando ha finito di cenare, chiede il conto. Il padrone gli risponde:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro."
Anche il secondo, quando ha finito di cenare, chiede il conto. Il padrone gli risponde:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro"
Il terzo infine, quando chiede il conto riceve la stessa risposta:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro."
Quando i tre se ne sono andati il padrone, tutto soddisfatto, apre la cassa e la trova vuota!
"Il mondo è pieno di ladri! pensa, ma ha torto."
Tenendo conto che i tre signori non hanno rubato nulla ed hanno eseguito alla lettera le disposizioni del padrone, sapresti dire quanto c'era nella cassa all'inizio?

4. Il quadrato magico
Sei capace di collocare in una tabella di 3 x 3 caselle i numeri dall'1 al 9 in modo ciascuna riga, ciascuna colonna e ciascuna diagonale dia come somma 15?

... ... ...
... ... ...
... ... ...


5. L'età delle figlie
Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede:
"Quanti figli ha?"
"Ho tre figlie." gli risponde la donna."
"Età?"
"Il prodotto delle età è 36 e la somma è uguale al numero civico di questa casa."
"Buon giorno e grazie."
L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice:
"I dati che mi ha fornito non sono sufficienti."
La signora ci pensa un po' e replica:
"E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Con questo dato l'intervistatore può conoscere l'età delle tre figlie.
Quanti anni hanno?

6. Il tagliatore di corde
Si ha una corda lunga 7 m ed ogni giorno se ne taglia un metro. Dopo quanti giorni la corda sarà completamente tagliata?

7. La lumaca
Una lumaca si arrampica lungo la parete di un pozzo umido, buio e profondo 5 m. Ogni giorno sale di 3 m ed ogni notte, mentre dorme, scivola verso il basso di 2 m. Dopo quanti giorni la lumaca potrà uscire dal pozzo?

8. Le dodici monete
Hai 12 monete apparentemente uguali. Però una di esse è falsa e si può riconoscere perché ha un peso leggermente inferiore alle altre. E' possibile individuare la moneta falsa effettuando al massimo tre pesate con una bilancia a bracci uguali?

Nota: una versione più difficile di questo problema è discussa qui: Il famoso problema delle 12 monete.

9. Il problema delle 8 monete (grazie a Giovanni Antonio Chirilli)

Siano date otto monete di cui una falsa e di peso inferiore alle altre. Utilizzando non piu' di due pesate con una bilancia a bracci uguali, si determini qual è la moneta falsa.

Nota: mentre il precedente problema delle 12 monete può essere risolto in più modi, questo problema ha una unica soluzione.

10. Le tre case e le tre fonti
In uno spiazzo ci sono tre case e tre fonti: una d'acqua, una di elettricità e una di gas. E' possibile collegare ciascuna casa con ciascuna fonte per mezzo di linee che stiano sullo stesso piano e non si incrocino?

11. I 9 punti e le 4 linee
Tracciare una linea spezzata formata da 4 segmenti che passi per tutti i punti della figura qui sotto.
Un testo alternativo è il seguente: i punti che vedete in figura sono disposti lungo una griglia ortogonale, cioè gli otto punti più esterni giacciono sul perimetro di un quadrato, mentre il restante al centro del quadrato stesso. Il problema consiste nel coprire questi nove punti con quattro segmenti di retta senza mai staccare la penna dal foglio.

12. Il prigioniero
Un prigioniero è chiuso in una cella con due porte: una conduce alla salvezza e l'altra alla morte.
Ciascuna delle due porte è vigilata da un guardiano. Entrambi i guardiani sanno dove conduce ciascuna delle due porte.
Il prigioniero sa che uno dei due guardiani mente sempre e l'altro dice sempre la verità ma non sa quale dei due è quello sincero.
Il prigioniero può fare una sola domanda ad uno solo dei due guardiani per scegliere la porta dalla quale uscirà.
Che cosa deve chiedere se vuole salvarsi?

13. C'è chi mente e chi dice la verità
In una certa città gli uomini sposati mentono sempre e gli scapoli dicono sempre la verità.
Un giorno una turista vede tre uomini e chiede al primo: "Lei è scapolo o sposato?"
L'uomo si toglie il sigaro di bocca e risponde: "Io sono cof..cof... po fkkjsdf8r... cof..."
"Che cosa ha detto il suo amico?" chiede al secondo.
Il secondo sputa il chewing gum e risponde: "Ha detto che è scapolo."
Il terzo uomo si toglie gli occhiali da sole e replica: "Qui l'unico scapolo sono io!"
Che cosa è ciascuno dei tre uomini?

14. Di che colore è l'orso
Ngongo è molto preoccupato, perché si è perso in una landa sconosciuta. Percorre 1 km verso sud, poi 1 km verso est, poi 1 km verso nord. Alla fine si rende conto di trovarsi nel punto esatto da cui era partito.
Mentre sta riflettendo sulla singolare circostanza ode un rumore alle sue spalle. Si volta di scatto e vede un orso imponente, che prima non aveva notato.
Di che colore è l'orso?

15. L'uomo nell'ascensore
Un signore abita al decimo piano di un palazzo.
Tutti i giorni, quando esce di casa, prende l'ascensore al decimo piano e scende fino al pianterreno.
Quando invece rientra in casa, sale con l'ascensore dal pianterreno fino al settimo piano e sale il resto delle scale a piedi per raggiungere il suo appartamento.
Quel signore non è superstizioso, non è uno sportivo e odia salire le scale a piedi. Come mai allora si comporta cosi?
A onor del vero bisogna precisare che quando in ascensore ci sono altre persone e talvolta quando piove egli arriva con l'ascensore fino al decimo piano.

16. Il lupo, la capra e il cavolo
Un pastore deve attraversare un fiume portando sull'altra riva un lupo e una capra affamati e un cavolo gigante.
Ha a disposizione una barca a remi con la quale può traghettare un solo oggetto o animale alla volta.
Ma, attenzione! Non può lasciare da soli:
- il lupo e la capra perché il lupo si mangia la capra;
- la capra ed il cavolo perché la capra si mangia il cavolo.
Quanti viaggi deve fare per portare sull'altra riva il lupo, la capra ed il cavolo?

17. Un nome davvero singolare: Carlo
Sapresti dire un nome di uomo che non abbia alcuna lettera in comune con il nome Carlo?

18. Cin Cin
In una tavolata di dieci persone quanti cin cin vengono fatti se ognuno lo fa con ciascun altro?

19. Una gallina e mezza
Se una gallina e mezzo fa un uovo e mezzo in un giorno e mezzo, quante uova farà una gallina in sei giorni?

20. L'asino e il mulo
Un asino disse a un mulo: "Se prendessi 20 Kg del tuo carico, il peso che mi opprime diventerebbe il doppio del tuo".
Il mulo rispose: "Se io prendessi 20 Kg del tuo peso, io porterei un carico uguale al tuo".
Quale peso portava ciascun animale?

21. Zampe e teste
In una stalla vi sono oche e coniglietti. Contando le teste queste sono 32, le zampe sono 100. Quante sono le oche e quanti i conigli?

22. Dieci sacchetti da 10 monete
Ho dieci sacchetti contenenti ciascuno dieci monete; in uno di questi sono contenute monete di peso 0.1 g ciascuna, nei rimanenti nove sono contenute monete di 1 g ciascuna.
Come posso individuare con una bilancia ad un solo piatto, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori in quale sacchetto sono contenute le monete che pesano di meno?

23. Attraversare il ponte
Aldo, Bruno, Carlo e Dino devono attraversare un ponte. Purtroppo sono al buio e possono disporre di una sola torcia (il ponte può essere attraversato solo con la torcia). Inoltre solo due persone alla volta possono camminare sul ponte.
Considerando che i 4 impiegano rispettivamente 1, 2, 5 e 10 minuti per attraversare il ponte e che quando due lo attraversano insieme camminano alla velocità del più lento (cioè se Aldo, 1 minuto, e Dino, 10 minuti, attraversano insieme impiegano 10 minuti, altrimenti uno dei due rimarrebbe al buio), come fanno i nostri 4 amici ad attraversare il ponte in 17 minuti?

24. Quattro triangoli con sei bastoncini
Hai 6 bastoncini della stessa lunghezza, li puoi collegare solo attaccando le punte. Come fai a formare con essi 4 triangoli?

25. Le 27 palline
Ho 27 palline di cui 26 sono di Ferro e 1 è di Piombo. Come faccio a determinare quella di Piombo mediante 3 pesate con bilancia a due piatti?

26. I 3 interruttori
Gino e' fuori da una stanza che ha una sola porta (chiusa) e nessuna finestra. Fuori ci sono tre interruttori. Ognuno può assumere due posizioni etichettate ON e OFF. Sai che uno di questi accende, quando e' su ON, e spegne, quando e' su OFF, una lampadina all'interno della stanza. Gino può modificare a piacimento le posizioni degli interruttori che inizialmente sono tutti su OFF. Quando vuole può aprire la porta ed entrare nella stanza, però a questo punto non può più uscire dalla stanza.
Come può fare Gino a capire quale interruttore pilota la lampadina?

27. Con 7 bastoncini
Hai 7 bastoncini cosi posizionati: \/II = I.
Questi descrivono un'equazione sbagliata, spostando un solo bastoncino devi ottenere un'equazione corretta.

28. Un numero di 5 cifre
Devi trovare un numero di cinque cifre che ha questa proprietà: se gli aggiungi a destra un 1 diventa tre volte più grande che se gli metti l'1 davanti.

29. Il problema di Monthy Hall
Siamo in un gioco a premi, abbiamo davanti a noi tre porte: dietro una di queste c'è un'auto, nelle altre due... una capra. Dobbiamo scegliere una porta, e vinceremo quello che troviamo là dietro. Fatta la scelta, il presentatore ci dice "Ne sei proprio sicuro? Puoi ancora cambiare la scelta: anzi, ti voglio aiutare e riduco le scelte a due. Ecco: dietro questa porta, c'è una capra". Così dicendo, apre una delle porte che noi non abbiamo scelto, mostrando una capra. Ammesso che vogliamo vincere l'auto, ci conviene cambiare porta, o la cosa è indifferente?
NOTA: per essere sicuri che il gioco sia compreso correttamente:
- il presentatore ci fa la domanda qualunque sia stata la nostra scelta.
- il presentatore apre sempre una porta diversa da quella scelta da noi,
e la sceglie in modo che abbia dietro una capra

30. Parola d'ordine
Una spia cerca di capire la regola che associa parola e controparola d'ordine per l'ingresso in un centro segreto. Si nasconde dietro a un cespuglio ed osserva. Arriva un soldato, bussa al portone e da dentro una voce dice "12", il soldato risponde "6" e gli viene aperto. Poco dopo arriva un altro soldato, bussa e gli viene detto "8", lui risponde "4" ed entra. Un terzo soldato entra, dopo avere risposto "5" alla parola "10". A questo punto, la spia crede di aver capito tutto: si avvicina, bussa, le dicono "4", lui risponde "2" e gli sparano. Come mai? (Ovviamente esistono infinite risposte possibili: a me interessa quella che si esprime con meno parole).

31. I lupi mannari
Una piccola città, in qualche sperduto luogo della terra, è infestata dai lupi mannari, cioè ci sono alcune persone che durante le notti di luna piena si trasformano in lupi feroci. Si può quindi ragionevolmente pensare che almeno uno degli abitanti di questo strano luogo sia un lupo mannaro. Per fare fronte a questa situazione il sindaco della cittadina emette un'ordinanza, la quale prevede che ogni cittadino che sappia di essere un lupo mannaro, si debba uccidere appena lo scopre. Dato che gli abitanti del luogo sono tutti dei cittadini rispettosi delle leggi, si può dare per certo che effettivamente ogni abitante che scopra di essere un lupo mannaro si uccida. Purtroppo però, un lupo mannaro non si accorge di esserlo e quindi lo può solo capire dall'osservazione di quello che gli sta intorno. A questo punto occorre ricordare che tutte le notti, e quindi in particolare quelle di plenilunio, ogni cittadino incontra tutti gli altri, e pertanto è in grado di vedere i lupi mannari anche se non può comunicare con loro. Dopo la terza notte di luna piena vengono ritrovati i cadaveri di alcuni lupi mannari. Voi dovete scoprire quanti sono i lupi ritrovati e soprattutto perché sono stati ritrovati soltanto dopo la terza notte, mentre nelle due precedenti non si è avuto alcun ritrovamento.

32. Un filo intorno alla Terra
Supponiamo la terra perfettamente sferica di circonferenza 40000 km, e un filo della stessa lunghezza che le giri tutto attorno all'Equatore. Tagliamo il filo, aggiungiamogliene un metro, riannodiamo il tutto e lasciamo il nuovo anello a distanza costante dalla superficie. Può un gatto passare tra il filo e la terra?

33. Travasi
Hai tre recipienti, A, B, C che possono contenere al massimo, quando sono pieni:

  • A -> 3 dl
  • B -> 5 dl
  • C -> 8 dl d'acqua.

Non sono graduati, perciò non è possibile sapere esattamente quanta acqua contengono, se non quando sono pieni.
All'inizio il recipiente da 8 dl è pieno d'acqua mentre gli altri sono vuoti.
Devi riuscire ad ottenere esattamente 4 dl d'acqua in uno dei recipienti B o C.
Puoi travasare dell'acqua da un recipiente ad un'altro quante volte vuoi.
Come fai?

34. Mozziconi di sigaretta
Un barbone raccoglie mozziconi di sigaretta e mettendone assieme 4 si costruisce una sigaretta (quasi) nuova. Se riesce a fumare 7 sigarette (quasi) nuove, qual è il numero minimo di mozziconi che deve aver trovato e quanti gliene rimangono alla fine?


Il lungo elenco dei top ten

Vi sarete certamente accorti che i top-ten della lista precedente sono più di 10. La collezione dei classici è infatti numerosissima e molti di essi sono più antichi di quanto si pensi.
I quadrati magici, ad esempio, erano noti già agli antichi cinesi. Il quesito del lupo, della capra e del cavolo risale ai tempi del frate Alcuino di York (900) che scrisse tra l'altro un libro di giochi logici e matematici intitolato "Ad acuendos juvenes".
In questa piccola collezione sono presenti i campi più significativi della matematica: l'aritmetica, la geometria, la logica, le strategie combinatorie, i sistemi di misura, il pensiero laterale.

Data creazione: luglio 2000

Ultimo aggiornamento: aprile 2010


Risposte & riflessioni

1. Il figliol prodigo
Ringrazio Giorgio Dendi che mi ha suggerito una correzione al testo di questo problema.

1° giorno: 1024 Euro.
2° giorno: 512 Euro.
3° giorno: 256 Euro.
...
10° giorno: 2 Euro.
11° giorno: 1° Euro.
12° giorno: 50 centesimi di Euro.
Al 12° giorno rimane con 50 centesimi, cioè senza neanche un Euro.

2. L'Euro mancante
Il ragionamento corretto è questo:
25 Euro per la cena +
3 Euro presi come resto +
2 Euro di mancia al cameriere =
-------------------------
30 Euro.

Va bene, il ragionamento giusto è quello, ma dov'é l'errore nel testo del problema?

Ringrazio Alessandro che mi scrive:
L'errore sta semplicemente nella frase:
"Abbiamo pagato 9 Euro a testa cioè 9 x 3 = 27 Euro i quali, con i 2 Euro di mancia, fanno 29 Euro. Dov'è finito l'Euro mancante?".
Precisamente ciò che non è corretto è il fatto che si considera due volte la mancia.
"Abbiamo pagato 9 euro a testa" = OK
"i quali, con i 2 Euro di mancia, fanno 29 Euro" = ERRATO: la mancia era già compresa nei 27 Euro (25 per la cena e 2 per la mancia).
Addizionare nuovamente la mancia è l'ERRORE.

La frase giusta sarebbe: ""Abbiamo pagato 9 Euro a testa cioè 9 x 3 = 27 Euro i quali, con i 3 Euro di resto, fanno 30 Euro.

3. Tutti hanno pagato ma alla fine la cassa è vuota
All'inizio nella cassa c'erano 1,75 Euro.
Questo problema si risolve partendo dal fondo.
Alla fine nella cassa ci sono: 0 Euro.
Quindi il 3° cliente deve aver trovato 1 Euro. Ha aggiunto altrettanto, cioè 1 Euro, e si è preso 2 Euro di resto.
Quindi il 2° cliente, per lasciare 1 Euro deve aver trovato 1,5 Euro. Ha aggiunto altrettanto (1,5 x 2 = 3) e si è preso 2 Euro di resto.
Quindi il 1° cliente per lasciare 1,5 Euro deve aver trovato 1,75 Euro. Ha aggiunto altrettanto (1,75 x 2 = 3,5) e si è preso 2 Euro di resto.
Quindi nella cassa, all'inizio, c'erano 1,75 Euro.
Facciamo la verifica:
Cassa: 1,75 Euro
1° cliente: (1,75 x 2) - 2 = 1,5
2° cliente: (1,5 x 2) - 2 = 1
3° cliente: (1 x 2) - 2 = 0

Ringrazio Francesco Marra per la seguente soluzione rapida.

Se x è il valore iniziale della nostra cassa allora la cassa:

  • al primo cliente avrà: 2*x - 2 euro
  • al secondo cliente: 2( 2*x -2) -2 euro
  • e al terzo: 2(2(2*x-2)-2)-2 euro...

L'ultima viene imposta a zero... (ma così la possiamo imporre come vogliamo...) e viene magicamente 14/8 = 1,75 euro.

4. Il quadrato magico
Ecco una possibile soluzione.

2 7 6
9 5 1
4 3 8


Grazie a Miky che mi ha inviato un quadrato magico, di dimensioni 4x4.

1 15 14 4
8 10 11 5
12 6 7 9
13 3 2 16


5. L'età delle figlie
Le figlie hanno rispettivamente 2, 2, 9 anni.
Vediamo di capire perché.
Noi non conosciamo il numero civico della casa, quindi dobbiamo trovare ed esaminare tutti i casi possibili.
Visto che il prodotto è 36, le età potrebbero essere:

Possibili terne di età prodotto somma
1 1 36 36 38
1 2 18 36 21
1 3 12 36 16
1 4 9 36 14
1 6 6 36 13
2 2 9 36 13
3 3 4 36 10
6 3 2 36 11

Se, ad esempio, il numero civico della casa fosse 14, non ci sarebbero problemi. L'unica terna di numeri interi che da come prodotto 36 e come somma 14 è 1, 4, 9.
Come si vede dalla tabella, l'unica somma che dà origine ad ambiguità è 13, alla quale corrispondono due diverse terne, ciascuna delle quali prevede che due figlie sono gemelle.
Ma la mamma ha precisato: "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Da ciò si capisce che la maggiore non ha una gemella, ma è unica.
Quindi possiamo dedurre che le tre figlie hanno 2, 2 e 9 anni.

6. Il tagliatore di corde
Sei giorni, cioè sei tagli. Provare per credere.

7. La lumaca
Al terzo giorno è fuori dal pozzo.

8. Le dodici monete
Divido le 12 monete in 2 gruppi da 6. Chiamiamoli A e B.
1° pesata: confronto i due gruppi A e B. La moneta si trova in quello più leggero.
Divido le 6 monete in due gruppi da 3 monete ciascuna. Chiamiamoli A1 e B1.
2° pesata: confronto i due gruppi A1 e B1. La moneta si trova in quello più leggero.
Chiamo le tre monete M1, M2 e M3.
3° pesata: confronto M1 e M2:
a) se hanno lo stesso peso allora la moneta falsa è M3;
b) se hanno peso diverso, la moneta falsa è quella più leggera.

Grazie ad lkc per avermi inviato questa soluzione alternativa.
E' forse possibile una soluzione differente rispetto a quella riportata:

1. si dividono le monete in 3 gruppi da 4 (A, B, C) e se ne pesano 2 (diciamo A e B). se sono = la moneta leggera e' nel gruppo C, altrimenti la moneta falsa e' nel gruppo piu' leggero dei 2 pesati.

2. si prende il gruppo selezionato e se ne pesano solo 2 monete. Se hanno lo stesso peso la moneta falsa si trova tra le 2 rimaste (si passa dunque alla terza pesata), se invece le due monete hanno peso differente, non c'e' bisogno di passare alla successiva pesata.

Grazie a Giovanni Antonio Chirilli per la seguente soluzione alternativa.
Ho costatato che nell'indovinello delle dodici monete ci sono, se non ricordo male, 2 soluzioni. Faccio osservare che ci sarebbe una terza soluzione (non ho provato a controllare se le soluzioni possibili sono soltanto 3).
Si divide il gruppo di 12 monete in 2 gruppi.
Chiamo i 2 gruppi A e B. A composto da 2 monete e B da 10.
A questo punto considero il gruppo B e pongo 5 monete su ogni piatto. Se il peso e' uguale allora con la seconda pesata trovo la moneta leggera.
Se sono diverse considero il gruppo di monete che pesa di meno e ne considero 4. Pongo 2 di queste 4 in un piatto e 2 in un altro. Se il peso e' uguale la restante e' la moneta in questione.
Altrimenti considero le due monete che sono piu' leggere delle altre 2 e con la terza ed ultima pesata ho finito la ricerca.

9. Il problema delle 8 monete.

Grazie a Giovanni Antonio Chirilli per il problema e la soluzione.

Un quesito un po' piu complicato a mio avviso e quello di considerarne 8 di monete. La maggior difficolta' sta nel fatto che in questo quesito la soluzione e' unica. In quello delle 12 monete pare che comunque si suddividano le monete (considerando i modi piu' istintivi e non per esempio 6 gruppi da 2) si arrivi alla soluzione. Considerando le 8 monete no. Vi e' solo un unico procedimento.

Soluzione dettagliata.

Si dividiano le otto monete in due gruppi, gruppo A composto da sei monete e gruppo B composto dalle restanti due monete.

Considero per primo il gruppo A di sei monete e le suddivido in ulteriori due gruppi da tre che pongo sulla bilancia.

Ora considero i seguenti possibili casi.

-- Primo caso: i due gruppi da tre monete hanno lo stesso peso (prima pesata), allora utilizzo la seconda ed ultima pesata per determinare la moneta falsa dal gruppo B composto da due monete. Dunque ho determinato la moneta falsa in due pesate.

-- Secondo caso: uno tra i due gruppi di tre monete e' piu' leggero (prima pesata) dunque tra queste monete si nasconde quella falsa.

Prendo da questo gruppo di tre, due monete e considero i seguenti sotto casi:

---- Primo sotto caso: le due monete hanno lo stesso peso (seconda pesata) allora la terza moneta e' quella falsa. ---- Secondo sotto caso: una delle due monete e' piu' leggera (seconda pesata), dunque e' quella falsa.

Ho quindi determinato la moneta falsa in due sole pesate.

Come si puo' facilmente verificare la soluzione e' unica.

Grazie a Enrico Guastella per una soluzione equivalente ma molto più concisa e altrettanto chiara.

La mia idea per risolvere l'esercizio consiste nel togliere dal gruppo di otto monete due monete, e dividere le restanti sei in due gruppi da tre:

1) Nel caso i due gruppi da tre pesino uguale, la moneta falsa sta nelle due omesse che con l'ultima mossa possono essere confrontate.

2) Nel caso un gruppo risulti più leggero dell'altro, si esaminano solo due monete di quel gruppo e, nel caso esse siano uguali la moneta falsa è la terza, altrimenti la moneta falsa è la più leggera.

10. Le tre case e le tre fonti
E' stato dimostrato che questo problema non si può risolvere nel piano, cioè nelle 2 dimensioni.
E' invece facile risolverlo nelle 3 dimensioni, sovrapponendo alcune linee. Nella figura qui sotto le sovrapposizioni sono cerchiate.

Giorgio Dendi e Mouse mi hanno comunicato che con un "trucco" abbastanza onesto si può risolvere il problema. Riporto la soluzione di Mouse.
Vorrei dare una diversa soluzione (fantasiosa e un po truffaldina) al quesito "Le tre case e le tre fonti".
Il trucco consiste nel far passare uno dei fili attraverso una delle case/fonti.
Nessuna regola vieta infatti che questo avvenga.
Le linee devono stare sullo stesso piano e non si devo incrociare tra loro ma non e' esplicitamente vietato che incrocino i "muri" delle case o delle fonti ;-)

Ringrazio il collega, prof. Fimiani Ugo per la seguente soluzione del problema delle tre case e delle tre fonti trovata da una allieva di classe prima della S.M.S "C. Nigra" di Torino (maggio 2005).

Ringrazio Enrico Ricci per la seguente soluzione.

figura

La soluzione potrebbe essere effettuando l'ultimo collegamento piegando il foglio o forandolo e facendo l'ultimo collegamento sul retro del foglio stesso.

11. I 9 punti e le 4 linee

12. Il prigioniero
Chiamiamo A e B i due guardiani. Il prigioniero ne sceglie uno a caso, poniamo A, e gli chiede:
"Se chiedessi al tuo collega B: "Qual è la porta che conduce alla salvezza?" egli che cosa mi risponderebbe?"
Con questa domanda il prigioniero è sicuro di ottenere la risposta falsa e perciò sceglierà l'altra porta!
Vediamo perché.
I casi sono due:
1° caso: A mente e B dice la verità: B risponderebbe la verità ma A che mente riferisce il falso.
2° caso: A dice la verità e B mente: B risponderebbe il falso e A riporta esattamente ciò che direbbe B, cioè, per l'appunto, il falso.

(Ringrazio Antonio Acquaviva per la seguente precisazione)
La risposta si può spiegare anche con le tavola dell'algebra booleana. Per le quali, posta la domanda che include le risposte di entrambi, il risultato è falso in quanto
A(Vero)+ B(Falso) = Falso
A(Falso)+ B(Vero) = Falso.

13. C'è chi mente e chi dice la verità
(Risposta inviata da Emiliano C.)
Ho trovato una risposta che mi sembra accettabile, e volevo sottoporla.
Il 3° uomo necessariamente mente: se dicesse la verità, i primi due uomini sarebbero sposati e mentirebbero, quindi il 2° mentirebbe sostenendo che il 1° ha detto che è scapolo; dunque il 1° avrebbe detto che è sposato, e ciò è assurdo perché gli sposati mentono.
D'altra parte, se il 3° uomo mente, vuol dire che almeno uno degli altri due è scapolo, dunque lo sono tutti e due, perché se lo fosse solo uno si cadrebbe di nuovo nel paradosso appena esposto.
Quindi la soluzione è:
1° uomo: scapolo
2° uomo: scapolo
3° uomo: sposato

(Risposta inviata da Fernando Blanc)
La soluzione è nel primo uomo, il quale può solo aver affermato: "Sono scapolo" (sia mentendo essendo cioè sposato, che dicendo la verità essendo cioè scapolo).
Quindi avendo A necessariamente affermato: "Sono scapolo" conseguenzialmente B dice la verità (è quindi scapolo), B dicendo la verità, conferma che A è veramente scapolo (essendo scapoli A e B). C invece MENTE quindi è sposato. Non vedo paradossi.

(Risposta inviata da Ettore Saltarelli)
Secondo il mio parere, il problema ha due soluzioni distinte, in particolare per quanto riguarda il primo uomo.
Infatti, concordo con il fatto che il primo debba necessariamente aver detto di essere uno scapolo, che il secondo, dicendo la verità, sia uno scapolo, e che il terzo, andando contro quanto detto dal secondo, sia uno sposato.
Ciò con cui non concordo è sul fatto che il primo uomo debba essere uno scapolo.
Il secondo infatti ha semplicemente confermato che il primo ha detto di essere uno scapolo, ma non ha confermato il fatto che il primo sia veramente uno scapolo.
Quindi, riassumendo, il primo può essere sia uno scapolo che uno sposato, il secondo è uno scapolo, il terzo è uno sposato.

(Risposta inviata da Velrio Bettini)
Si può risolvere partendo dal secondo tizio.
Egli può essere o scapolo o sposato.
Partiamo dal primo caso.
1 - Egli è scapolo quindi dice la verità. Da ciò deduciamo che anche il primo tizio è scapolo (perché è vero ciò che dice il secondo e quindi vero anche quello che dice il primo). Il terzo è invece uno sposato perché è falso che è lui l'unico scapolo
2 - Egli è sposato quindi dice il falso. Quindi la frase detta dal primo tizio è "io sono sposato". Se fosse vero mentirebbe quindi sarebbe uno scapolo. Se fosse falso direbbe la verità quindi sarebbe uno sposato.
Da qui entriamo nel paradosso quindi l''unica soluzione possibile è la prima: 1-scapolo 2-scapolo 3-sposato.

(Risposta inviata da Egidio Dell'Atti)
Ritengo che si impossibile stabilire cosa sia il primo uomo. Assodato che il secondo uomo è uno scapolo e il terzo uno sposato
ricordiamo che il secondo uomo riferisce "cosa ha detto" e non "cosa é"
il primo.
Il primo ha sicuramente detto di essere "scapolo" e quindi può essere:
* uno scapolo che dice la verità
oppure
* uno sposato che mente.
Rimane quindi incerta la determinazione della sua natura.

(Risposta inviata da Francesco Viola)
Credo che la soluzione sia unica (primo uomo Sposato, secondo sposato, terzo scapolo) e che tutte le soluzioni riportate nel sito siano erronee o comunque travisino il testo, mi spiego:

Alla domanda se fosse o meno sposato il primo uomo ha risposto "Io sono cof..cof... po fkkjsdf8r... cof..." (in pratica con dei versi) così la risposta del secondo non può che essere Falsa (non gli è stato chiesto, infatti, se il primo uomo fosse o meno sposato ma cosa avesse detto e, quindi, l'unica risposta corretta sarebbe stata la riproduzione dei suoni del primo) quindi se la risposta del secondo uomo è falsa ciò comporta:

1. Il secondo uomo è sposato (mente, infatti)

2. Ciò che dice del secondo uomo è falso (anche il primo è quindi sposato)

3. Il terzo dice la verità (infatti non solo asserisce di essere scapolo ma di essere l'unico dei tre cosa che, dimostrata la falsità delle affermazioni precedenti non può che esser vera, quindi, il terzo uomo non mente ed è, appunto, scapolo).

Il precedente ragionamento è però passibile di due obbiezioni che tuttavia risultano essere false:

Obbiezione "A": "Ma il primo ha detto qualcosa, solo che l'intervistatore non ha capito".

Questa obiezione è nulla: nella lingua scritta ciò che è messo tra virgolette è ciò che viene effettivamente pronunciato, per descrivere la possibilità ventilata dall'obbiezione dovrebbe essere descritta con linguaggio indiretto (es. il primo uomo dice qualcosa di incomprensibile all'interlocutore); la lingua è una convenzione ma ha regole ben precise.

-Obbiezione "B": "E' vero il secondo non può essere che scapolo, in quanto mente, ma in fondo, proprio perché rispondeva alla domanda "che cosa ha detto il primo uomo?" rispondere "è scapolo" potrebbe essere una bugia nel significato/senso del contesto (in quanto NON è la risposta data il primo) che però esprime un predicato vero (il primo sarebbe per davvero scapolo e, alla domanda se lo fosse, il secondo avrebbe dovuto negarlo, mentendo, ma, essendogli stato chiesto cosa il primo avesse DETTO (e non cosa fosse), ha potuto mentire pur pronunciando un predicato di per sé vero: anche se il primo fosse stato scapolo NON è ciò che ha detto - sarebbe la logica seguita dal secondo)".

Questa obbiezione è molto più profonda della prima ma risulta esser anch'essa erronea. Analizziamo la premessa del quesito: "In una certa città gli uomini sposati mentono sempre e gli scapoli dicono sempre la verità". Tutto verte sul significato di "gli uomini sposati mentono sempre", se questo significasse che NON possono dire nulla di vero l'obbiezione cadrebbe da sé (anche mentendo sarebbe, per gli sposati, impossibile esprimere un predicato il cui concetto fosse vero), nel caso che volesse semplicemente dire che gli sposati non dicono la verità sembrerebbe, a prima vista (e solo a prima vista), che l'obbiezione sia corretta. Tuttavia se si attribuisse il secondo significato alla prima parte della premessa (cosa che comporta la considerazione separata di significato/senso e predicato rispetto a ciò che si afferma - so che i termini non sono tra i più appropriati ma da buon studente di economia sono digiuno di logica - e che si consideri falsa un'affermazione che lo sia anche solo nel significato/senso nonostante sia vera a livello di predicato) bisognerebbe considerare parimenti la seconda parte della premessa ("gli scapoli dicono SEMPRE la verità) e ciò che dice il primo uomo: ovvero se per creare una bugia basta che il significato/senso sia falso (pur essendo il predicato di per sé vero), per avere una verità entrambi devono essere veri (un po' come moltiplicare due numeri con segni opposti per ottenerne uno negativo rispetto alla necessità di moltiplicare due positivi, o di medesimo segno, per averne uno positivo) quindi la risposta del primo uomo è da considerarsi di per sé una menzogna (dice: "IO SONO cof..cof... po fkkjsdf8r... cof...") non basterebbe infatti che il significato/senso, che il primo uomo non riesce ad esprimere nel contesto, non fosse falso (in quanto non conoscibile e quindi forse vero e di scarso aiuto per la soluzione dell'enigma) ma sarebbe necessario che il predicato in sé fosse vero (ovvero il primo uomo dovrebbe dire sempre la verità e invece affermare di essere "cof..cof... po fkkjsdf8r... cof..." è una menzogna: l'uomo o è scapolo o sposato non è certo un insieme di suoni) cosa che non si verifica. Quindi, dimostrato che il primo uomo mente, questi può esser riconosciuto come sposato senza bisogno della prova fornita dall'affermazione, comunque falsa (anche se solo nel significato/senso del contesto), del secondo.

(Risposta inviata da Paolo Grandi)

Tale quesito è probabilmente mal posto...non ci sono dubbi su questo.

Dovrebbe essere, ad esempio, così:

"L'uomo NON si toglie il sigaro di bocca, e la sua risposta è incomprensibile per tutti, tranne che per il suo amico", e in tal caso sarebbe corretta la risposta fornita da Saltarelli e Dell'Atti, oppure così e co una giunta, susseguente alla risposta del secondo uomo...

"E lo è?" (altra domanda della turista) "Sì" (oppure "No").

O anche semplicemente "Ha detto che è scapolo, E COSI' E' (o MA NON E' COSI')".

Partendo da questa premessa, non è invece necessariamente vero quanto scritto da Viola...il narratore (figura estranea alla vicenda),non essendo chi proferisce le parole, riporta le stesse (i suoni, in questo caso), come le ha sentite o come le ha sentite chi gliele ha comunicate, cosa che smonta tutto il suointeressante ma tedioso ragionamento.

E se il narratore fosse un abitante di quella stessa città?

14. Di che colore è l'orso
L'orso è bianco.
Ngongo, infatti, si trova esattamente sul Polo Nord che è l'unico punto della Terra in cui percorrendo un certo tratto verso sud, poi lo stesso tratto verso est, poi lo stesso tratto verso nord, ci si ritrova al punto di partenza.
Ma, a ben pensarci, il Polo Nord non è l'unico punto della Terra in cui accade questo strano fatto...

15. L'uomo nell'ascensore
L'uomo è un nano.
Non arriva a premere il pulsante del 10° piano. Se però c'è qualcun altro, si fa aiutare.

16. Il lupo, la capra e il cavolo
Situazione iniziale: (- - - ... Pastore Lup Cap Cav)
1° viaggio: (- - Cap ... Pastore Lup Cav -): traghetta la capra e torna indietro da solo.
2° viaggio: (- - Lup ... Pastore Cap Cav -): traghetta il lupo e porta indietro la capra.
3° viaggio: (- Lup Cav ... Pastore Cap - -): traghetta il cavolo e torna indietro da solo.
4° viaggio: (Lup Cap Cav Pastore ... - - -): traghetta la capra.

17. Un nome davvero singolare: Carlo
Giuseppe

18. Cin Cin
45 cin cin (se ognuno lo fa con ciascun altro una volta sola)

19. Una gallina e mezza
Una gallina e mezza fa un uovo al giorno, perciò in 6 giorni farà 6 uova.
Una gallina sola, in 6 giorni farà (2/3)*6 uova, cioè 4 uova.

20. L'asino e il mulo
L'asino portava 140 kg e il mulo 100 kg
Asino = a
Mulo = m
a + 20 = 2(m-20) = 2m - 40
m + 20 = a - 20

Ricavo a dalla prima equazione:
a = 2m - 60

Sostituisco nella seconda equazione:
m + 20 = 2m - 80

Ricavo:
m = 100
a = 140

Verifico:
Un asino disse a un mulo:"Se prendessi 20 Kg del tuo carico, il peso che mi opprime diventerebbe il doppio del tuo".
Infatti: 140 + 20 = 2(100-20)

Il mulo rispose: "Se io prendessi 20 Kg del tuo peso, io porterei un carico uguale al tuo".
Infatti: 100 + 20 = 140 - 20

Questo quesito ha anche un'altra interpretazione, secondo la quale l'asino portava 60 kg e il mulo 40 kg

21. Zampe e teste
18 conigli e 14 oche.
Una strategia risolutiva elementare è questa:
Essendoci 32 teste, se fossero tutte di oca, le zampe sarebbero 64.
Poiché invece ci sono 100 zampe, quelle in più sono senz'altro coppie di zampe di conigli. Perciò i conigli sono:
(100-64)/2 = 36/2 = 18 conigli.
Dunque le oche sono 32-18 = 14 oche.

22. Dieci sacchetti da 10 monete
Risposta inviata da Francesco Marino.
Ci sono 9 sacchetti che contengono 10 monete da 1 g l'una e un sacchetto che contiene 10 monete da 0,1 g perciò il peso complessivo dei sacchetti sarebbe di (9*10*1) g+(1*10*0,1) g quindi in totale 91 g.
Ora, se noi togliessimo delle monete dai sacchetti con questo ordine:nessuna dal primo sacchetto, 1 dal secondo, 2 dal terzo e via dicendo fino al decimo sacchetto dal quale estrarremmo 9 monete noi sapremmo di aver eliminato dalla pesata 45 monete .
Se le monete estratte fosse tutte di ugual peso, vale a dire da 1 grammo la nostra pesata dovrebbe dare come risultato i 91 g totali meno i 45 g delle monete estratte, ovvero 46 g.
Quindi potremmo calcolare prima della pesata l'ipotetico risultato per tutti i casi di monete incriminate sottratte ai sacchetti con la semplice seguente formula dove "n" sta per il numero di monete "incriminate" sottratte dal loro sacchetto: 46+(n*1)-(n*0,1) e otterremmo i seguenti risultati: per nessuna moneta estratta 46 g
per 1 moneta 46,9 g
per 2 monete 47,8 g
per 3 monete 48,7 g
per 4 monete 49,6 g
per 5 monete 50,5 g
per 6 monete 51,4 g
per 7 monete 52,3 g
per 8 monete 53,2 g
per 9 monete 54,1 g
Quindi una volta pesati i dieci sacchetti (sempre ipotizzando che i sacchetti intesi come contenitori di monete non abbiano un peso) non ci resta che confrontare la pesata con i risultati sopra ottenuti per sapere quante monete sono state estratte dal sacchetto di monete più leggere .
Ancora più semplicemente si potrebbe dire che sarebbe sufficiente senza fare calcoli osservare il valore decimale della pesata, difatti se il decimale fosse pari a 0 ciò indicherebbe che il sacchetto con le monete leggere è quello dal quale non è stata sottratta alcuna moneta mentre negli altri casi basterebbe trovare il numero di decimali occorrenti a raggiungere l'intero successivo (ad es. nel caso di un risultato come 49,6 g per giungere all'intero successivo ossia in questo caso 50 servirebbero 4 decimi di grammo e siccome ogni moneta leggera pesa 1 decimo di grammo il sacchetto dal dal sono state estratte 4 monete sarebbe quello incriminato).
Per quanto forse più rapida la seconda modalità preferisco la prima in quanto se la bilancia utilizzata non avesse una precisione assoluta si rischierebbe di commettere un errore (lo commetterebbe la bilancia) mentre calcolando il risultato si avrebbe quasi 1 grammo di differenza tra un risultato e l'altro lasciando una minore possibilità di errore (ovviamente approssimando la pesata al risultato calcolato ad essa più vicina.
Nel caso in cui la bilancia sbagliasse così tanto la pesata da indurci in errore allora forse sarebbe meglio prendere le monete dei sacchetti e andare a comperare una bilancia nuova (consiglio una TANITA;-).

23. Attraversare il ponte
Ricordiamo i tempi di attraversamento indicando le quattro persone con le iniziali dei rispettivi nomi:

  • A impiega 1 minuto ad attraversare la passerella;
  • B impiega 2 minuti;
  • C impiega 5 minuti;
  • D impiega 10 minuti.

Ecco la sequenza dei passaggi:

Passano A e B, torna B 2 + 2 = 4 min
Passano C e D, torna A 10 + 1 = 11 min
Passano A e B 2 min

Totale: 4 + 11 + 2 = 17 min


24. Quattro triangoli con sei bastoncini
Con tre bastoncini formi un triangolo sul piano, unisci nello spazio le punte degli altri tre bastoncini, in modo da formare un tetraedro; hai così ottenuto 4 triangoli.

Risposta inviata da Filippo Z., alunno di una scuola primaria di Bergamo.

stecchini

25. Le 27 palline
Prepariamo tre gruppi di 9 palline ciascuno.
1° pesata: confrontando due di questi gruppi possiamo individuare in quale dei tre gruppi (di 9 palline) si trova la pallina più pesante.
Prendiamo il gruppo incriminato e dividiamolo in tre gruppi di 3 palline ciascuno.
2° pesata: confrontando due di questi gruppi possiamo individuare in quale dei tre gruppi (di 3 palline) si trova la pallina più pesante.
Prendiamo il gruppo incriminato e dividiamolo in tre gruppi di 1 pallina ciascuno.
3° pesata: confrontando due di queste palline possiamo individuare qual è la pallina più pesante.

26. I 3 interruttori
Ecco il segreto: una lampadina può essere: accesa, spenta, calda, fredda.
La procedura è la seguente.

  • Il primo interruttore non lo tocco.
  • Il secondo lo attivo per 10 minuti e poi lo disattivo.
  • Il terzo lo attivo.

Dopo aver compiuto queste operazioni entro immediatamente nella stanza, osservo e tocco la lampadina.

  • Se è accesa, l'interruttore cercato è il terzo.
  • Se è spenta e calda, l'interruttore è il secondo.
  • Se è spenta e fredda, l'interruttore è il primo.

27. Con 7 bastoncini
Trasformo VII in "radice quadrata di I" spostando un bastoncino.

28. Un numero di 5 cifre
Il numero è 42857
Premetto 1: 142.857 * 3 = 428.571
Aggiungo 1 : 428.571

29. Il problema di Monthy Hall
Conviene cambiare.
Se NON cambiamo, abbiamo 1/3 di probabilità di vincere (perché abbiamo scelto 1 su 3).
Se cambiamo, abbiamo 2/3 di probabilità di vincere (perché scegliamo la porta che faceva parte dei 2/3 sapendo però che dietro all'altra non c'è il premio ma la capra).
Secondo quanto ci narra Paul Hoffman, la comprensione di questo problema ha dato del filo da torcere persino al grande matematico Paul Erdos. Se avete dei dubbi, consultate la pagina dedicata a: Il problema di Monthy Hall.

30. Parola d'ordine
La regola non consiste nel dire la metà del numero ma il numero di lettere da cui è composto (in italiano)
Dunque la risposta a 4 (q-u-a-t-t-r-o) è 7.

31. I lupi mannari
Sono tre.
Esistono molte varianti di questo problema (L'isola dei cornuti, L'epidemia nel convento, etc.)

  • caso 1: se ci fosse 1 solo lupo mannaro saprebbe subito di esserlo perché:
    a) non è a conoscenza di altri lupi mannari,
    b) si sa che ce n'è almeno uno.
    Pertanto il 1° giorno di luna piena si ucciderebbe;
  • caso 2: se ci fossero 2 lupi mannari, ciascuno di essi conoscerebbe un solo lupo mannaro (l'altro) e non si ucciderebbe il 1° giorno aspettandosi che l'altro lo facesse, come dal caso 1; ma non accadendo ciò, si renderebbe conto di essere lupo mannaro e perciò il 2° giorno di luna piena due uomini si ucciderebbero;
  • caso 3: se ci fossero 3 lupi mannari, ciascuno di essi conoscerebbe 2 lupi mannari (gli altri) e non si ucciderebbero né il primo giorno di luna piena né il secondo, aspettandosi che tutto funzioni come al caso 2; ma non accadendo ciò, si renderebbero conto di essere lupi mannari e perciò il 3° giorno di luna piena 3 uomini si ucciderebbero;

e così è stato.

32. Un filo intorno alla Terra
Sì.
Il raggio della prima circonferenza è:
C/2pi (espresso in metri)

Il raggio della seconda circonferenza è:
(C+1)/2pi = C/(2pi) + 1/(2pi) (espresso in metri)

Dove pi = 3,14...

Come si vede, il secondo raggio è (1/2)pi più lungo del primo, in metri.

1/(2pi) = 1/6,283 = 0,159 m = 15,9 cm circa

Perciò la distanza fra la terra ed il filo, nel secondo caso è circa 15,9 cm e un gatto ci può passare.

In generale, se le lunghezze di due circonferenze qualsiasi differiscono di 1 m, allora i raggi delle circonferenze differiscono di circa 15,9 cm.
Tale differenza fra i raggi è costante, indipendentemente dalle dimensioni delle due circonferenze (ferma restando la loro differenza, che deve essere di 1 m).

33. Travasi
Nella seguente tabella sono riportati i contenuti dei tre recipienti in seguito ad ogni travaso.


Inizio 1° trav. 2° trav. 3° trav. 4° trav. 5° trav. 6° trav.
Vaso da 3 dl 0 0 3 0 2 2 3
Vaso da 5 dl 0 5 2 2 0 5 4
Vaso da 8 dl 8 3 3 6 6 1 1

34. Mozziconi di sigaretta
Trova 22 mozziconi e si fabbrica 5 sigarette.
Gli avanzano 5 + 2 = 7 mozziconi con cui si fabbrica 1 sigaretta.
Gli avanzano 1 + 3 mozziconi con i quali si fabbrica 1 sigaretta.
Gli avanza 1 mozzicone.

Ringrazio Mariangela Marcone per la seguente simpatica analisi alternativa.
Per questo problema avrei trovato un'altra soluzione.
I mozziconi sono certo 22, ma, dato che non mi vedo il barbone intento a fare troppi calcoli, procederei così:

  • Ne trova 1 che utilizza come base per tutte le sigarette future e che gli resta alla fine (forse).
  • Poi una alla volta costruisce, con calma, le 7 sigarette.

Quindi 7*3 =21 +1 =22

Alla fine si sarà fumato anche l'unghia, ma mi sembra più semplice e in tema con il personaggio.


Non so se in molti siate arrivati in fondo a questa pagina dopo aver risolto o almeno guardato i vari quiz. A costoro dico che aggiungeremo altri giochi logici in questa sezione, daremo anche il titolo di altri libri da leggere. Non ci resta che ringraziare ancora Gianfranco Bo gestore del website BASE cinque e invitare  i lettori del nostro sito a visitarlo anche nella pagina dei 34 quesiti nel caso sia sparito qualche schema nella sua copiatura qui: http://utenti.quipo.it/base5/introduz/topten.htm